Aplicación Función Exponencial en Economía

FUNCIÓN EXPONENCIAL

CRECIMIENTO POBLACIONAL:

Para el crecimiento de la población se usa la ecuación de interés compuesto:

M (t) = P (1+ r)^t

Donde M es el monto total, P es el capital inicial invertido,  r  representa la tasa de interés (tasa de crecimiento poblacional) y t es el tiempo.

Ejercicio 1

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1.- La población. La población proyectada P de una ciudad está dada por P = 125.000 (1,12)^t/20 donde t es el número de años a partir  de 1995. ¿Cuál es la población estimada para el año 2015?

Solución:

Como en la ecuación es (1 + r)^t y r  es la tasa de crecimiento; podemos deducir que en el ejercicio la tasa de crecimiento por año es de 12 %. Este porcentaje se divide en 100 y entonces tendríamos 0,12. Se hace con todos los porcentajes de crecimiento.

Aplicando la ecuación:

M (t) = 125.000 (1 + 0,12)^t/20  

M (t) = 125.000 (1,12)^20/20     Ecuación del Ejercicio

M (t) = 125.000 (1,12)

M (t) = 140.000            Población para el 2015.

Crecimiento de la Población en los 20 años:

M – P = 140.000 – 125.000 = 15000   Crecerá en 20 años

  Tabla de Crecimiento Poblacional

Año	Población
1995	125.000
2000	128.587
2005	132.287
2010	136.087
2015	140.000

M (t) = 125.000 (1,12)^0/20

M (t) = 125.000 (1,12)^5/20

M(t) = 125.000 (1,12)^10/20

M (t) = 125.000 (1,12)^15/20

M (t) = 125.000 (1,12)^20/20

^{Gráfica de la función crecimiento poblacional exponencial} 

Funciones Cuadráticas 3 Gráfica

y = 2x -  x²


F(x) = - x² + 2x


Vértice V (h, k)


h= -b/2a
h = - (2) / 2 (-1)
h = -2 / -2
h = 1


k = 4ac -   b² /  4a
k = 4 (-1)(0) -  (2)² / 4(-1)
k = -4 / -4
k = 1


Vertice (1, 1)


X - Intersectos  Igualando a cero


 2x - x²= 0
x (2 -x) = 0
x = 0       2 - x = 0
              -x = -2
               x = 2 

Funciones Cuadráticas 2

2.- Halle dos números cuya suma es 16 y cuyo producto es 63

x+y = 16 Primera ecuación 

x*y = 63 Segunda ecuación

Despejando la primera ecuación:

x+y = 16

y = 16 -x

Remplazando y en la segunda ecuación:

• x (16 - x) = 63
• 16x - x² = 63
• 0 = x² - 16x + 63 
• x² - 16x + (16/2)²  = - 63 + (16/2)² (Aplicando (b/2)² )
• x² - 16x + 64 = -63 + 64
• (x - 8)² = 1
• x - 8 = ±√1  (Aplicando raiz cuadrada)
• x -8 = ±1
• x = ±1 + 8
• x = 1 + 8 = 9
• x = - 1 + 8 = 7

Funciones Cuadráticas

La distancia entre dos ciudades por río es de 80 km. Un barco pasa esta distancia dos veces (hacia arriba y hacia abajo) en 8 horas con 20 minutos. Determinar la velocidad del barco en agua tranquila (sin corriente) si la velocidad de la corriente es de 4 km/h.

x : Velocidad del barco en agua tranquila (km/h)
x + 4: Velocidad del barco navegando a favor de la corriente (hacia abajo).
x - 4: Velocidad del barco navegando en contra de la corriente (hacia arriba).
t: 8h con 20m: Tiempo que emplea el barco. En horas seria " 8h + (20m * 1h)/60m = 8h+20/60h simplificando seria 8h+1/3h = 25/3h debemos hacerlo porque la velocidad esta dada en km/h

Para hallar el tiempo del barco cuando va río arriba y abajo. La formula es V= S/T asi que debemos despejar la formula:
V*T=S
T= S/V

Entonces Tenemos:

1. T = 80/x-4 (80 distancia o espacio y x-4 velocidad el barco hacia arriba) Primera Ecuación
2. 25/3 - T = 80/x+4 (Al ir a favor de la corriente el tiempo de llegada sera menor por lo tanto es negativo, 80 distancia o espacio y x+4 velocidad hacia abajo). La ecuación que daría entonces así: 

-T = -25/3 + 80/x+4
T= 25/3 - 80/x+4 Segunda Ecuación

Contamos con dos ecuaciones ahora las igualamos:

• 25/3 - 80/x+4 = 80/x-4   (Como 25, 80, 80 son múltiplos de 5 los dividimos por 5)
• 5/3 - 16/x+4 = 16/x-4 (Cancelación de los denominadores)
• 3(x+4) (x-4) (5/3 - 16/x+4) = 3(x+4) (x-4) (16/x-4)
• 15/3 (x+4) (x-4) - 48 (x+4) (x-4) / (x+4) = 48 (x+4) (x-4) / (x-4)
• 5 (x+4) (x-4) - 48 (x-4) = 48 (x+4)
• 5 (x²-16) - 48x + 192 = 48x + 192
• 5x²- 80 - 48x + 192 - 48x - 192 = 0
• 5x²-96x - 80 = 0 Ahora tenemos la función cuadrática
• X = -b ±√b² – 4 ac / 2a

• X =  - (- 96) ± √ (- 96)²- 4 (5) ( - 80)    / 2 (5) 
• X = 96 ± √9216 + 1600   / 10 
• X = 96 ± √10816  / 10 
• X =  96 ± 104  / 10
• X = 96 + 104     / 10 
• X = 200 / 10
• X = 20 Velocidad del barco en agua tranquila es de 20 km /h

Juegos Matemáticos

JUEGOS MATEMÁTICOS

ECONOMÍA 1

1.- Usando los números 1, 7, 7, 7 y 7 (un "1" y cuatro "7"s) crear el número 100.

Al igual que los cinco números se puede usar los signos de operaciones matemáticas +, -, x, ÷ y paréntesis ( ).

Ø  Por ejemplo: (7+1) × (7+7) = 112

2.- La Raíz de 625 = x Disfrazar x (7 veces) y decir a que conjunto pertenece x (R, N, Q, II, Z).

3.- Como puedo obtener la respuesta 24 solo usando los números 8,8,3,3.

Ø Se puede usar los signos principales de suma, resta, multiplicación y división (+, -, /, x, ()).

4.- La siguiente ecuación está equivocada: 101 - 102 = 1

Mueve un número para transformarla en correcta.

5.-  ¿2n + 1 es un numero? ¿Es R, N, Q, II, Z?

Los Orígenes Primitivos

1.- La base de la matemática prehistórica tuvo sus inicios por la necesidad de contar o identificar grupos. Según los estudios de Darwin incluso los animales tienen la capacidad de identificaban grupos por su numero, forma, tamaño y orden. El ser humano primitivo utilizo sus dedos para identificar los grupos.

2.- La matemática apareció con el hombre debido a la necesidad de identificar los grupos. Se basaron en el número de dedos las manos y los pies, hacían grupos de 5 de 10 y hasta 20  comenzaron a utilizar quíntuplos debido a que cada mano y pie consta de 5 dedos, fue el primer sistema de numeración.

Nuestra opinión de acuerdo con lo leído creemos que la matemática existió antes del hombre de acuerdo lo dicho por Darwin donde algunos animales fueron capaces de identificar grupos de acuerdo por su número, tamaño, forma y orden, según la evolución primero existieron los animales y después el hombre.

3.- Los primitivos usaban bases de 2 debido a la cantidad de manos, pies, ojos y los orificios de la nariz. Hacían grupos de acuerdo con los dedos de las manos de 2, 3, 4, 5 objetos. Al encontrar grupos muy grandes utilizaron piedras para crear grupos de 5. Ademas se encontraron huesos de aproximadamente 30.000 años donde tenían 55 cortes divididos en dos grupos de 25 y 30, estas marcas estaban distribuidas en grupos de 5. Los egipcios en sus inicios adoptaron esta numeración y luego en su desarrollo comenzaron a utilizar bases de 10.

4.- Encontramos que las bases pequeñas como 2, 3, 4, 5 nos ayudan a representar una cantidad de símbolos pequeña pero al ser una cantidad superior la complejidad de calculo se alta y muy difícil para un ser humano.

Las bases 10 y 20 nos ayudan hacer una representación simplificada de cantidades superiores.

La base de 70 tiene un alto grado de complejidad aunque nos ayuda ha calcular grandes cantidades pero es bastante difícil que un ser humano pueda calcular esta base.

5.- Escogeríamos la base de numeración 10 porque nos ayuda a identificar grandes cantidades de elementos y objetos los cuales en gran cantidad son difíciles de calcular para un ser humano en comparación con cantidades pequeñas que son mas fáciles de agrupar e identificar.

6.- Los símbolos fueron los primeros para los números, porque el inicio de las matemáticas es tan antiguo que no existía un lenguaje claro entre culturas, para poder identificarlos utilizaban símbolos para darle nombre a los números como lo hacían los egipcios.

7.- Debido a la cantidad de dedos de nuestras manos los primitivos se familiarizaron con los sistemas quinario y decimal dejando ha un lado el sistema binario y ternario, por lo consiguiente los números 6 y 9 no entraban en este sistema utilizado por las primeras civilizaciones.

8.- Las primeras figuras en ser estudiadas fueron las planas debido a que estas fueron utilizadas para la alfarería donde se caracterizaban porque sus áreas estaban entre sí. Las figuras solidas fueron utilizadas para cuestiones más complejas como construcciones (templos usualmente). Aunque ambas fueron de la mano a través de la historia.

9.- Una necesidad de agrimensura porque según los estudios la geometría se pudo haber estimulado por prácticas de construcción,  esto se refleja en los tensadores de la cuerda agrimensores egipcios que utilizaban la cuerda para reconstruir las fronteras borradas entre los terrenos o por prácticas de construcción para   bosquejos de los planos de los templos.

10.- El hombre prehistórico debió conocer primero el día debido al movimiento de la tierra donde genera la salida del sol y la luna (día, noche). Esto le dio bases para identificar el paso del tiempo donde entendieron que al ocultarse el sol y salir de nuevo significaban el comienzo de un nuevo día.