Funciones Cuadráticas 3 Gráfica

y = 2x -  x²


F(x) = - x² + 2x


Vértice V (h, k)


h= -b/2a
h = - (2) / 2 (-1)
h = -2 / -2
h = 1


k = 4ac -   b² /  4a
k = 4 (-1)(0) -  (2)² / 4(-1)
k = -4 / -4
k = 1


Vertice (1, 1)


X - Intersectos  Igualando a cero


 2x - x²= 0
x (2 -x) = 0
x = 0       2 - x = 0
              -x = -2
               x = 2 

Funciones Cuadráticas 2

2.- Halle dos números cuya suma es 16 y cuyo producto es 63

x+y = 16 Primera ecuación 

x*y = 63 Segunda ecuación

Despejando la primera ecuación:

x+y = 16

y = 16 -x

Remplazando y en la segunda ecuación:

• x (16 - x) = 63
• 16x - x² = 63
• 0 = x² - 16x + 63 
• x² - 16x + (16/2)²  = - 63 + (16/2)² (Aplicando (b/2)² )
• x² - 16x + 64 = -63 + 64
• (x - 8)² = 1
• x - 8 = ±√1  (Aplicando raiz cuadrada)
• x -8 = ±1
• x = ±1 + 8
• x = 1 + 8 = 9
• x = - 1 + 8 = 7

Funciones Cuadráticas

La distancia entre dos ciudades por río es de 80 km. Un barco pasa esta distancia dos veces (hacia arriba y hacia abajo) en 8 horas con 20 minutos. Determinar la velocidad del barco en agua tranquila (sin corriente) si la velocidad de la corriente es de 4 km/h.

x : Velocidad del barco en agua tranquila (km/h)
x + 4: Velocidad del barco navegando a favor de la corriente (hacia abajo).
x - 4: Velocidad del barco navegando en contra de la corriente (hacia arriba).
t: 8h con 20m: Tiempo que emplea el barco. En horas seria " 8h + (20m * 1h)/60m = 8h+20/60h simplificando seria 8h+1/3h = 25/3h debemos hacerlo porque la velocidad esta dada en km/h

Para hallar el tiempo del barco cuando va río arriba y abajo. La formula es V= S/T asi que debemos despejar la formula:
V*T=S
T= S/V

Entonces Tenemos:

1. T = 80/x-4 (80 distancia o espacio y x-4 velocidad el barco hacia arriba) Primera Ecuación
2. 25/3 - T = 80/x+4 (Al ir a favor de la corriente el tiempo de llegada sera menor por lo tanto es negativo, 80 distancia o espacio y x+4 velocidad hacia abajo). La ecuación que daría entonces así: 

-T = -25/3 + 80/x+4
T= 25/3 - 80/x+4 Segunda Ecuación

Contamos con dos ecuaciones ahora las igualamos:

• 25/3 - 80/x+4 = 80/x-4   (Como 25, 80, 80 son múltiplos de 5 los dividimos por 5)
• 5/3 - 16/x+4 = 16/x-4 (Cancelación de los denominadores)
• 3(x+4) (x-4) (5/3 - 16/x+4) = 3(x+4) (x-4) (16/x-4)
• 15/3 (x+4) (x-4) - 48 (x+4) (x-4) / (x+4) = 48 (x+4) (x-4) / (x-4)
• 5 (x+4) (x-4) - 48 (x-4) = 48 (x+4)
• 5 (x²-16) - 48x + 192 = 48x + 192
• 5x²- 80 - 48x + 192 - 48x - 192 = 0
• 5x²-96x - 80 = 0 Ahora tenemos la función cuadrática
• X = -b ±√b² – 4 ac / 2a

• X =  - (- 96) ± √ (- 96)²- 4 (5) ( - 80)    / 2 (5) 
• X = 96 ± √9216 + 1600   / 10 
• X = 96 ± √10816  / 10 
• X =  96 ± 104  / 10
• X = 96 + 104     / 10 
• X = 200 / 10
• X = 20 Velocidad del barco en agua tranquila es de 20 km /h